Question

1．△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，其面積S=a²-（b-c）²．若a=2，則BC邊上的中線長(zhǎng)的取值范圍是（1，4]．

Answer 1

分析 根據(jù)余弦定理和面積公式可求得sinA，cosA，利用正弦定理把b，c用sinB，sinC表示出來(lái)，在△ACD中使用余弦定理得出中線AD²關(guān)于B的函數(shù)，根據(jù)B的范圍求出中線AD的最值．

解答 解：∵S=a²-（b-c）²=a²-b²-c²+2bc，
b²+c²-a²=2bccosA，
S=$\frac{1}{2}bcsinA$，
∴2bc（1-cosA）=$\frac{1}{2}$bcsinA，
∴sinA=4-4cosA，
又∵sin²A+cos²A=1，
∴cosA=$\frac{15}{17}$，sinA=$\frac{8}{17}$．
由正弦定理得$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=\frac{2}{\frac{8}{17}}=\frac{17}{4}$，
∴b=$\frac{17}{4}sinB$，c=$\frac{17}{4}sinC$．
設(shè)BC的中點(diǎn)為D，則CD=$\frac{1}{2}AB=1$．
在△ACD中，由余弦定理得AD²=CD²+AC²-2AC•CDcosC=1+$\frac{289}{16}$sin²B-$\frac{17}{2}sinB$cosC．
∵cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=$\frac{8}{17}sinB-\frac{15}{17}cosB$，
∴AD²=1+$\frac{289}{16}$sin²B-$\frac{17}{2}sinB$（$\frac{8}{17}sinB-\frac{15}{17}cosB$）=$\frac{225}{16}$sin²B+$\frac{15}{2}$sinBcosB+1=$\frac{225}{16}$×$\frac{1-cos2B}{2}$+$\frac{15}{4}$sin2B+1=$\frac{15}{4}$sin2B-$\frac{225}{32}$cos2B+$\frac{257}{32}$．
=$\frac{255}{32}$sin（2B-φ）+$\frac{257}{32}$，其中sinφ=$\frac{15}{17}$，cosφ=$\frac{8}{17}$，∴φ=$\frac{π}{2}-A$．
∴AD²=$\frac{255}{32}$sin（2B+A-$\frac{π}{2}$）+$\frac{257}{32}$=-$\frac{255}{32}$cos（2B+A）+$\frac{257}{32}$．
∵0＜B＜π-A，
∴A＜2B+A＜2π-A．
∵sinA=$\frac{8}{17}＜\frac{1}{2}$，∴A$＜\frac{π}{6}$，
∴當(dāng)2B+A=π時(shí)，AD²取得最大值$\frac{255}{32}+\frac{257}{32}$=$\frac{256}{16}$=16，
當(dāng)2B+A=A或2π-A時(shí)，AD²取得最小值-$\frac{255}{32}$×$\frac{15}{17}$+$\frac{257}{32}$=1．
∴1＜AD≤4．
故答案為（1，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的最值，過(guò)程較復(fù)雜，計(jì)算量較大，屬于難題．