Question

6．若數(shù)列{a_n}滿足a₁•a₂•a₃…a_n=n²+3n+2
（1）求數(shù)列{a_n}通項公式；
（2）若b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{1}•{a}_{2}•{a}_{3}…{a}_{n}-2}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）當n≥2時利用a_n=$\frac{{a}_{1}•{a}_{2}•…•{a}_{n}}{{a}_{1}•{a}_{2}•…•{a}_{n-1}}$化簡，進而驗證當n=1時是否成立即可；
（2）通過（1）計算、裂項可知，當n≥2時b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，進而驗證可知當n=1時也成立，利用并項相消法計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a₁•a₂•a₃…•a_n=n²+3n+2=（n+1）（n+2），
∴當n≥2時，a_n=$\frac{{a}_{1}•{a}_{2}•…•{a}_{n}}{{a}_{1}•{a}_{2}•…•{a}_{n-1}}$=$\frac{（n+1）（n+2）}{n（n+1）}$=$\frac{n+2}{n}$，
又∵a₁=1+3+2=6不滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}通項公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{6，}&{n=1}\\{\frac{n+2}{n}，}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知，當n≥2時，b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{1}•{a}_{2}•{a}_{3}…{a}_{n}-2}$=$\frac{\frac{n+3}{n+1}}{{n}^{2}+3n+2-2}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
又∵b₁=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}-2}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$滿足上式，
∴b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和為1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查裂項相消法，對表達式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．