【題目】如圖，且，，且，且，平面，.

（1）若為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，求證：平面；

（2）求二面角的正弦值．

【答案】（1）證明見解析（2）.

【解析】

（1）根據(jù)題意,建立空間直角坐標(biāo)系,只需證明與平面的法向量垂直,即可證明平面.

（2）分別求平面的法向量和平面的法向量,即可求得二面角的正弦值.

解：依題意,可以建立以為原點(diǎn),

分別以,,的方向?yàn)?/span>軸,軸,軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系（如圖）,

可得,,,,,

,,,.

（1）證明:依題意,．

設(shè)為平面的法向量,

則,即,

不妨令,可得．

又,可得,

又因?yàn)橹本�平面,

所以平面.

（2）依題意,可得,,.

設(shè)為平面的法向量,

則,即,

不妨令,可得．

設(shè)為平面的法向量,

則,即,

不妨令,可得．

因此有,于是.

所以,二面角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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④AB與CD所成的角是60°.

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【題目】為了迎接2019年全國文明城市評比，某市文明辦對市民進(jìn)行了一次文明創(chuàng)建知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查.每一位市民有且僅有一次參加機(jī)會，通過隨機(jī)抽樣，得到參加問卷調(diào)查的1000人的得分（滿分：100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：

組別

頻數(shù)

25

150

200

250

225

100

50

（1）由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布，近似為這1000人得分的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表），請利用正態(tài)分布的知識求；

（2）在（1）的條件下，文明辦為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案：

（i）得分不低于的可以獲贈2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于的可以獲贈1次隨機(jī)話費(fèi)；

（ii）每次獲贈的隨機(jī)話費(fèi)和對應(yīng)的概率為：

獲贈的隨機(jī)話費(fèi)（單位：元）

20

40

概率

現(xiàn)市民小王要參加此次問卷調(diào)查，記（單位：元）為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費(fèi)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：①；

②若，則，，.

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【題目】某廠銷售部以箱為單位銷售某種零件，每箱的定價為元，低于箱按原價銷售，不低于箱則有以下兩種優(yōu)惠方案：①以箱為基準(zhǔn)，每多箱送箱；②通過雙方議價，買方能以優(yōu)惠成交的概率為，以優(yōu)惠成交的概率為.

甲、乙兩單位都要在該廠購買箱這種零件，兩單位都選擇方案②，且各自達(dá)成的成交價格相互獨(dú)立，求甲單位優(yōu)惠比例不低于乙單位優(yōu)惠比例的概率；

某單位需要這種零件箱，以購買總價的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，試問該單位選擇哪種優(yōu)惠方案更劃算？

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（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）射線的極坐標(biāo)方程為，若射線與曲線的交點(diǎn)為，與直線的交點(diǎn)為，求線段的長.

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