Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，若存在區(qū)間，使得函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）求，當(dāng)時(shí)，求出的解，進(jìn)而得到單調(diào)區(qū)間，求出極小值，最小值；

（2）求出的根，對分類討論，求出的解，即可得出結(jié)論；

（3）求出，得到在單調(diào)區(qū)間，求出在的最值，轉(zhuǎn)化為在上至少有兩個(gè)不同的根，分離參數(shù)得到，求出與函數(shù)圖象至少有兩交點(diǎn)時(shí)，的取值范圍.

（1），

當(dāng)時(shí)，，

，

單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，

時(shí)，取得極小值，也是最小值，

的最小值為；

（2）當(dāng)時(shí)，，

令或，

若時(shí)，恒成立，函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是，

若時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

即函數(shù)遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是，

若時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

即函數(shù)遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是，

綜上，若時(shí)，函數(shù)的遞減區(qū)間是，無遞增區(qū)間

若時(shí)，函數(shù)的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是，

若時(shí)，函數(shù)的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是；

（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，

則，設(shè)，

當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，

在為增函數(shù)，

在區(qū)間上遞增，

函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>，

，

在上至少有兩個(gè)不同的根，

即，令，

，令，

則恒成立，

在遞增，，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

當(dāng)，

，

即實(shí)數(shù)的取值范圍是