Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，底面四邊形為直角梯形，，，為線段上一點.

(1)若，則在線段上是否存在點，使得平面?若存在，請確定點的位置；若不存在，請說明理由

(2)己知，若異面直線與成角，二而角的余弦值為，求的長.

Answer 1

【答案】（1）存在，點是線段上靠近點的一個三等分點；（2）2.

【解析】

(1) 延長，交于點，連接。通過證明及，可得M為PB上的一個三等分點，且靠近點P。

(2)建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，分別求得平面和平面的法向量，再根據(jù)二面角夾角的余弦值即可得參數(shù)t的值，進而求得CD的長。

解：（1）延長，交于點，連接，則平面.

若平面，由平面平面，平面，則.

由，，則，

故點是線段上靠近點的一個三等分點.

（2）∵，，，平面，平面，

則平面

以點為坐標原點，以，所在的直線分別為軸、軸，過點與平面垂直的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標系，

則，，，，則，，

設平面和平面的法向量分別為，.

由，得即，

令，則，故.

同理可求得.

于是，則，解之得（負值舍去），故.

∴.