Question

4．如圖，AB是圓柱的直徑且AB=2，PA是圓柱的母線且PA=2，點C是圓柱底面圓周上的點．
（1）求圓柱的側(cè)面積和體積；
（2）求三棱錐P-ABC體積的最大值；
（3）若AC=1，D是PB的中點，點E在線段PA上，求CE+ED的最小值．

Answer 1

分析 （1）代入面積公式和體積公式計算即可；
（2）三棱錐的高為定值，邊AB為定值，故當C到直線AB的距離取得最大值時，底面積最大，故棱錐的體積最大；
（3）反向延長AB至C′，使得AC=AC′，則C′D為CE+DE的最小值．

解答 解：（1）圓柱的側(cè)面積S_側(cè)=2πrh=2π×1×2=4π
圓柱的體積V=πr²h=π×1²×2=2π．
（2）三棱錐P-ABC的高h=2，底面三角形ABC中，AB=2，點C到AB的最大值等于底面圓的半徑1，
∴三棱錐P-ABC體積的最大值等于$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}×2×1$×2=$\frac{2}{3}$．
（3）將△PAC繞著PA旋轉(zhuǎn)到PAC′使其共面，且C′在AB的反向延長線上．
∵PA=AB=2，$∠PBA=\frac{π}{4}$，$BD=\frac{1}{2}BP=\sqrt{2}$，BC′=3，
由余弦定理得：$C'D=\sqrt{{3^2}+{{（\sqrt{2}）}^2}-2×3×\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}}=\sqrt{5}$，
∴CE+ED的最小值等于$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了圓柱的結(jié)構(gòu)特征，面積與體積計算，屬于基礎(chǔ)題．