Question

18．設(shè)向量$\overrightarrow{α}$=（sinα，sinα）．$\overrightarrow$=（cosα，sinα），α∈[$\frac{π}{2}$，π]且|$\overrightarrow{α}$|=|$\overrightarrow$|．
（I）求α的值；
（II）將$\overrightarrow$順時針方向旋轉(zhuǎn)$\frac{π}{4}$得到$\overrightarrow{{e}_{1}}$，將$\overrightarrow{α}$逆時針方向旋轉(zhuǎn)$\frac{π}{12}$得到$\overrightarrow{{e}_{2}}$，非零向量$\overrightarrow{c}$=x$\overrightarrow{{e}_{1}}$+y$\overrightarrow{{e}_{2}}$，求$\frac{|x|}{|\overrightarrow{c}|}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)|$\overrightarrow{α}$|=|$\overrightarrow$|列出方程解出α；
（2）求出$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的坐標(biāo)，得出|$\overrightarrow{c}$|的坐標(biāo)，求出$\frac{|x|}{|\overrightarrow{c}|}$的平方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出$\frac{|x|}{|\overrightarrow{c}|}$的最大值．

解答 解：（I）∵|$\overrightarrow{α}$|=|$\overrightarrow$|，∴2sin²α=cos²α+sin²α=1，
∴sin²α=$\frac{1}{2}$，∵α∈[$\frac{π}{2}$，π]，
∴α=$\frac{3π}{4}$．
（II）$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{π}{4}$，sin$\frac{π}{4}$），$\overrightarrow$=（cos$\frac{3π}{4}$，sin$\frac{3π}{4}$）．
∴$\overrightarrow{{e}_{1}}$=（0，1），$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
∴$\overrightarrow{c}=（\frac{y}{2}，x+\frac{\sqrt{3}y}{2}）$．
∴|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{（\frac{y}{2}）^{2}+（x+\frac{\sqrt{3}y}{2}）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+\sqrt{3}xy}$．
∴$\frac{|x{|}^{2}}{|\overrightarrow{c}{|}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}+\sqrt{3}xy}$=$\frac{1}{1+（\frac{y}{x}）^{2}+\frac{\sqrt{3}y}{x}}$=$\frac{1}{[（\frac{y}{x}）+\frac{\sqrt{3}}{2}]^{2}+\frac{1}{4}}$．
∴當(dāng)$\frac{y}{x}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$時，$\frac{|x{|}^{2}}{|\overrightarrow{c}{|}^{2}}$取得最大值4．
∴$\frac{|x|}{|\overrightarrow{c}|}$的最大值是2．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，二次函數(shù)的最值，屬于中檔題．