Question

8．已知雙曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），離心率e=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
（1）求雙曲線C的漸近線方程；
（2）若A，B分別是兩條漸近線上的點，AB是位于第一、四象限間的動弦，△A0B的面積為定值$\frac{27}{4}$，且雙曲線C經(jīng)過AB的一個三等分點P，如圖，試求雙曲線C的方程．

Answer 1

分析 （1）由離心率公式，可設(shè)a=2t，c=$\sqrt{13}$t（t＞0），則b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=3t，由漸近線方程即可得到；
（2）設(shè)A（m，$\frac{3}{2}$m），B（n，-$\frac{3}{2}$n），n，m＞0，求得△OAB的面積為S=$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|sin∠AOB，運用向量的數(shù)量積的定義和坐標表示，可得S=$\frac{3}{2}$mn，由$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{PB}$，運用共線的坐標表示，求得P的坐標，代入雙曲線的方程，解得t=1，進而得到雙曲線的方程．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
可設(shè)a=2t，c=$\sqrt{13}$t（t＞0），則b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=3t，
即有雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
即為y=±$\frac{3}{2}$x；
（2）可設(shè)A（m，$\frac{3}{2}$m），B（n，-$\frac{3}{2}$n），n，m＞0，
△OAB的面積為S=$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|sin∠AOB=$\frac{1}{2}$$\sqrt{|\overrightarrow{OA}{|}^{2}•|\overrightarrow{OB}{|}^{2}-（\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}）^{2}}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（{m}^{2}+\frac{9}{4}{m}^{2}）（{n}^{2}+\frac{9}{4}{n}^{2}）-（mn-\frac{9}{4}mn）^{2}}$=$\frac{3}{2}$mn，
由題意可得$\frac{3}{2}$mn=$\frac{27}{4}$，解得mn=$\frac{9}{2}$，
由$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{PB}$，可得P（$\frac{m+\frac{1}{2}n}{1+\frac{1}{2}}$，$\frac{\frac{3}{2}m-\frac{3}{4}n}{1+\frac{1}{2}}$），
即為（$\frac{2m+n}{3}$，$\frac{2m-n}{2}$），
代入雙曲線的方程$\frac{{x}^{2}}{4{t}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{9{t}^{2}}$=1，可得
$\frac{（2m+n）^{2}}{36{t}^{2}}$-$\frac{（2m-n）^{2}}{36{t}^{2}}$=1，化為36t²=8mn=36，
解得t=1，可得雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

點評 本題考查雙曲線的方程和漸近線的方程的求法，注意運用離心率公式，以及向量的數(shù)量積和共線的坐標表示，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．