Question

17．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（2b-c，a）和向量$\overrightarrow{n}$=（cosC，cosA）為共線向量．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若a=6，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)向量關(guān)系得出方程，利用正弦定理將邊化角，使用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)得出cosA的值；
（II）使用余弦定理和基本不等式解出bc的范圍，代入三角形的面積公式得出．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)橄蛄縨=（2b-c，a）和向量n=（cosC，cosA）為共線向量，
所以（2b-c）cosA=acosC，
由正弦定理得（2sinB-sinC）cosA=sinAcosC，
即2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）=sinB．
由于B是三角形的內(nèi)角，sinB≠0，
則$cosA=\frac{1}{2}$，所以$A=\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）因?yàn)閍²=b²+c²-2bccosA，
所以$36={b^2}+{c^2}-2bccos\frac{π}{3}={b^2}+{c^2}-bc≥2bc-bc=bc$，
且僅當(dāng)b=c時(shí)取得等號(hào)，所以bc≤36，
故${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA≤\frac{1}{2}×36×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=9\sqrt{3}$，
所以當(dāng)b=c時(shí)，△ABC面積的最大值為$9\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正余弦定理，三角形的面積公式，三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題．