Question

16．如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ABC=60°，AD=2，AB=PA=1，且PA⊥平面ABCD．
（1）請(qǐng)判定PB與AC的位置關(guān)系，并證明；
（2）求頂點(diǎn)A到平面PCD的距離．

Answer 1

分析 （1）證明AC⊥平面PAB，即可判定PB與AC的位置關(guān)系；
（2）過(guò)A作AH⊥PC，垂足為H，則AH⊥平面PCD，利用等面積求頂點(diǎn)A到平面PCD的距離

解答 證明：（1）∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PA⊥AC；…（2分）
在△ABC中，∠ABC=60°，BC=2，AB=1，
∴AC²=AB²+BC²-2 AB•BC cos60°=1+4-2=3，則AB²+AC²=BC²，
∴AB⊥AC；…（4分）
又PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB，
∵PB?平面PAB，
∴PB⊥AC；…（6分）
（2）由（1）知：AC⊥CD，又PA⊥CD，則CD⊥平面PAC，
∵CD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAC；…（8分）
過(guò)A作AH⊥PC，垂足為H，則AH⊥平面PCD；…（10分）
在Rt△PAC中，AH=$\frac{PA•AC}{PC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
即A到平面PCD的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$…（12分）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)，考查A到平面PCD的距離，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．