Question

1．已知f（x）=x³+3ax²+bx在x=-1時有極值為0．
（1）求常數(shù) a，b的值；  
（2）求f（x）在[-2，-$\frac{1}{4}$]的最值．

Answer 1

分析 （1）首先對f（x）求導，由題意可知f'（-1）=0且f（-1）=0；（2）利用導數(shù)判斷出函數(shù)f（x）圖形的單調(diào)性后求極值．

解答 解：（1）∵f（x）=x³+3ax²+bx，
∴f'（x）=3x²+6ax+b，
又∵f（x）在x=-1時有極值0，
∴f'（-1）=0且f（-1）=0，
即3-6a+b=0且-1+3a-b=0，
解得：a=$\frac{2}{3}$，b=1   經(jīng)檢驗，合題意．
（2）由（1）得f'（x）=3x²+4x+1，
令f'（x）=0得x=-$\frac{1}{3}$或x=-1，
又∵f（-2）=-2，f（-$\frac{1}{4}$）=-$\frac{9}{64}$，f（-1）=0，f（-$\frac{1}{3}$）=-$\frac{4}{27}$，
∴f（x）_max=0，f（x）_min=-2．

點評 本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值問題，屬基礎題．