Question

20．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為A_n，na_n+1=A_n+$\frac{3}{2}$n（n+1），a₁=2；等比數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為B_n，B_n+1、B_n、B_n+2成等差數(shù)列，b₁=-2．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系可得：$\frac{{{A_{n+1}}}}{n+1}=\frac{A_n}{n}+\frac{3}{2}$，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：A_n，再利用遞推關(guān)系可得a_n．
利用等差數(shù)列與底邊數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出b_n．
（2）由（1），${a_n}•{b_n}=（{3n-1}）{（{-2}）^n}$，利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵$n{a_{n+1}}={A_n}+\frac{3}{2}n（{n+1}）$，∴$n（{{A_{n+1}}-{A_n}}）={A_n}+\frac{3}{2}n（{n+1}）$，
∴$n{A_{n+1}}=（{n+1}）{A_n}+\frac{3}{2}n（{n+1}）$，
∴$\frac{{{A_{n+1}}}}{n+1}=\frac{A_n}{n}+\frac{3}{2}$，
∵a₁=2，∴$\frac{A_1}{1}=2$，
∴$\frac{A_n}{n}=2+（{n-1}）\frac{3}{2}$，∴${A_n}=\frac{{n（{3n+1}）}}{2}$，
∴n≥2時(shí)，a_n=A_n-A_n-1=3n-1；n=1時(shí)，a₁=2．
綜上，a_n=3n-1，
設(shè)數(shù)列{b_n}的公比為q，∵B_n+1、B_n、B_n+2成等差數(shù)列，
∴2B_n=B_n-1+B_n+2，
即2B_n=B_n+b_n-1+B_n+b_n+1+b_n+2，∴-2b_n+1=b_n+2，∴q=-2，
∵b₁=-2，∴${b_n}={（{-2}）^n}$．
（2）由（1），${a_n}•{b_n}=（{3n-1}）{（{-2}）^n}$，
則S_n=2×（-2）+5×（-2）²+8×（-2）³+…+（3n-1）•（-2）ⁿ，
-2S_n=2×（-2）²+5×（-2）³+…+（3n-4）•（-2）ⁿ+（3n-1）•（-2）ⁿ⁺¹，
作差得：3S_n=-4+3[（-2）²+（-2）³+…+（-2）ⁿ]-（3n-1）•（-2）ⁿ⁺¹
=2+3×$\frac{-2×[1-（-2）^{n}]}{1-（-2）}$-（3n-1）•（-2）ⁿ⁺¹，
∴${S_n}=-n{（{-2}）^{n+1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．