Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²-kx+（2k-3）．
（1）若k=$\frac{3}{2}$時(shí)，解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）＞0對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）兩個(gè)不同的零點(diǎn)均大于$\frac{5}{2}$，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由k的值，得到f（x）解析式，由此得到大于0的解集．
（2）由f（x）＞0恒成立，得到判別式小于0恒成立．
（3）由兩個(gè)不同的零點(diǎn)，得到判別式△＞0，由兩點(diǎn)均大于$\frac{5}{2}$，得到對(duì)稱(chēng)軸大于$\frac{5}{2}$，和f（$\frac{5}{2}$）＞0．

解答 解：（1）若k=$\frac{3}{2}$時(shí)，f（x）=x²-$\frac{3}{2}$x．
由f（x）＞0，得x²-$\frac{3}{2}$x＞0，即x（x-$\frac{3}{2}$）＞0
∴不等式f（x）＞0的解集為{x|x＜0或x＞$\frac{3}{2}$}
（2）∵f（x）＞0對(duì)任意x∈R恒成立，
則△=（-k）²-4（2k-3）＜0，
即k²-8k+12＜0，解得k的取值范圍是2＜k＜6．
（3）若函數(shù)f（x）兩個(gè)不同的零點(diǎn)均大于$\frac{5}{2}$，
則有$\left\{\begin{array}{l}{△={k}^{2}-8k+12＞0}\\{\frac{k}{2}＞\frac{5}{2}}\\{f（\frac{5}{2}）＞0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k＜2或k＞6}\\{k＞5}\\{k＜\frac{13}{2}}\end{array}\right.$，
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是（6，$\frac{13}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，以及二次函數(shù)的根與判別式，根與零點(diǎn)的關(guān)系．