Question

6．已知函數(shù)f（x）=x²+（b-$\sqrt{4-{a}^{2}}$）x+2a-b是偶函數(shù)，則函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值是-2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)二次函數(shù)是偶函數(shù)的等價(jià)條件，即一次項(xiàng)的系數(shù)為零，求出a與b的關(guān)系式，而f（x）圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是f（0）=2a-b，數(shù)形結(jié)合求最值即可．

解答 解：∵f（x）=x²+（b-$\sqrt{4-{a}^{2}}$）x+2a-b是偶函數(shù)，
∴b-$\sqrt{4-{a}^{2}}$=0，則b=$\sqrt{4-{a}^{2}}$，
它表示以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的上半圓；
f（x）圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是f（0）=2a-b，
令t=2a-b，則b=2a-t，它表示斜率為2的直線．
如圖：當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A（2，0）時(shí)，
在y軸上的截距-t最小，從而t最大，值為4
由直線與圓相切，可得$\frac{|t|}{\sqrt{5}}$=2，∴函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值是-2$\sqrt{5}$．
故答案為：-2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、數(shù)形結(jié)合求最值，有一定的綜合性，能力要求較高．