【題目】如圖，四棱錐中，底面為梯形， 底面， .過(guò)作一個(gè)平面使得平面.

（1）求平面將四棱錐分成兩部分幾何體的體積之比；

（2）若平面與平面之間的距離為，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）或.（2）

【解析】試題分析：（1）設(shè)平面與直線分別交于，因?yàn)?/span>平面，所以，可得分別是的中點(diǎn)，根據(jù)棱錐的體積公式可得，從而可得平面將四棱錐分成兩部分幾何體的體積之比；（2）因?yàn)?/span>兩兩垂直，以為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出直線的方向向量以及平面的一個(gè)法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得直線與平面所成角的正弦值.

試題解析：（1）記平面與直線.

因?yàn)?/span>，所以.

由已知條件易知，又因.

所以

可得

所以.

即平面將四棱錐分成兩部分幾何體的體積之比為.

（2）建立直角坐標(biāo)系，記

則

因?yàn)槠矫?/span>的法向量

設(shè) 得，

取得平面.

由條件易知點(diǎn)到平面距離.即.

所以.直線與平面所成角滿足

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查棱錐的體積公式以及利用空間向量線面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，已知拋物線,過(guò)點(diǎn)任作一直線與相交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線與直線相交于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn))．

（1）證明: 動(dòng)點(diǎn)在定直線上；

（2）作的任意一條切線 (不含軸), 與直線相交于點(diǎn)與（1）中的定直線相交于點(diǎn)．

證明: 為定值, 并求此定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線G：x2=2py（p＞0），直線y=k（x﹣1）+2與拋物線G相交A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）（x1＜x2），過(guò)A，B點(diǎn)分別作拋物線G的切線L1 ， L2 ， 兩切線L1 ， L2相交H（x，y），
（1）若k=1，有 L1⊥L2 ， 求拋物線G的方程；
（2）若p=2，△ABH的面積為S1 ， 直線AB與拋物線G圍成封閉圖形的面積為S2 ， 證明： 為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某中學(xué)從參加環(huán)保知識(shí)竟賽的學(xué)生中抽取了部分學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行分析，不過(guò)作好的莖葉圖和頻率分布直方圖因故均受到不同程度的損壞，其可見(jiàn)部分信息如圖所示，據(jù)此解答下列問(wèn)題：

（1）求抽取學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)，并修復(fù)頻率分布直方圖；

（2）根據(jù)修復(fù)的頻率分布直方圖估計(jì)該中學(xué)此次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的平均成績(jī)。（以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知，設(shè)命題：指數(shù)函數(shù)≠在上單調(diào)遞增.命題：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>．若“”為假，“”為真，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某玩具生產(chǎn)公司每天計(jì)劃生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共個(gè)，生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵需分鐘，生產(chǎn)一個(gè)騎兵需分鐘，生產(chǎn)一個(gè)傘兵需分鐘，已知總生產(chǎn)時(shí)間不超過(guò)小時(shí)，若生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵可獲利潤(rùn)元，生產(chǎn)一個(gè)騎兵可獲利潤(rùn)元，生產(chǎn)一個(gè)傘兵可獲利潤(rùn)元.

（1）用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個(gè)數(shù)與騎兵個(gè)數(shù)表示每天的利潤(rùn)（元）；

（2）怎么分配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】以下四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）
①命題“若x=y，則sinx=siny”的逆否命題是真命題；
②已知α，β是不同的平面，m，n是不同的直線，m∥α，n∥β，α⊥β，則m⊥n；
③直線l1：2ax+y+1=0，l2：x+2ay+2=0，l1∥l2的充要條件是 ；
④ ．
A.1
B.2
C.3
D.4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在三棱錐中，平面平面， ， ， 為的中點(diǎn)， 為的中點(diǎn)， 在棱上．

（）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，證明： 平面．

（）求證： 平面．

（）是否存在點(diǎn)使得平面？若存在，求出的值，若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】明天小強(qiáng)要參加班里組織的郊游活動(dòng)，為了做好參加這次郊游的準(zhǔn)備工作，他測(cè)算了如下數(shù)據(jù)：整理床鋪、收拾攜帶物品8分鐘，洗臉、刷牙7分鐘，煮牛奶15分鐘，吃早飯10分鐘，查公交線路圖9分鐘，給出差在外的父親發(fā)手機(jī)短信6分鐘，走到公共汽車站10分鐘，等公共汽車10分鐘．小強(qiáng)粗略地算了一下，總共需要75分鐘，為了趕上7：50的公共汽車，小強(qiáng)決定6：30起床，不幸的是他一下子睡到6：50，請(qǐng)你幫小強(qiáng)安排一下時(shí)間，畫出一份郊游出行前時(shí)間安排流程圖，使他還能來(lái)得及參加此次郊游．

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