Question

4．若橢圓的方程$\frac{x^2}{10-a}+\frac{y^2}{a-2}$=1，且此橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，則實數a=$\frac{14}{3}$或$\frac{22}{3}$．

Answer 1

分析 討論橢圓的焦點在x，y軸上時，運用離心率公式，計算即可得到所求值．

解答 解：當橢圓的焦點在x軸上時，
可得10-a＞a-2＞0，即2＜a＜6，
由e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得（10-a）-（a-2）=$\frac{1}{2}$（10-a），
解得a=$\frac{14}{3}$；
當橢圓的焦點在y軸上時，
可得a-2＞10-a＞0，即6＜a＜10，
由e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得（a-2）-（10-a）=$\frac{1}{2}$（a-2），
解得a=$\frac{22}{3}$．
故答案為：$\frac{14}{3}$或$\frac{22}{3}$．

點評 本題考查橢圓的離心率的運用，注意分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．