【題目】已知函數(shù)f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2+clnx,且g(x)在點(diǎn)(1,g(1))處的切線方程為2y-1=0.
(1)求g(x)的解析式;
(2)設(shè)函數(shù)G(x)=若方程G(x)=a2有且僅有四個(gè)解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)g(x)=x2-lnx(2)
【解析】(1)g′(x)=2bx+ 由條件,得即∴b=,c=-1,
∴g(x)=x2-lnx.
(2)G(x)=
當(dāng)x>0時(shí),G(x)=g(x)=x2-lnx,g′(x)=x-=.
令g′(x)=0,得x=1,且當(dāng)x∈(0,1),g′(x)<0,x∈(1,+∞),g′(x)>0,
∴g(x)在(0,+∞)上有極小值,即最小值為g(1)=.
當(dāng)x≤0時(shí),G(x)=f(x)=ax3-3ax,f′(x)=3ax2-3a=3a(x+1)(x-1).
令f′(x)=0,得x=-1.①若a=0,方程G(x)=a2不可能有四個(gè)解;
②若a<0時(shí),當(dāng)x∈(-∞,-1),f′(x)<0,當(dāng)x∈(-1,0),f′(x)>0,∴f(x)在(-∞,0]上有極小值,即最小值為f(-1)=2a.又f(0)=0,∴G(x)的圖象如圖①所示,從圖象可以看出方程G(x)=a2不可能有四個(gè)解;
,①) ,②)
③若a>0時(shí),當(dāng)x∈(-∞,-1),f′(x)>0,當(dāng)x∈(-1,0),f′(x)<0,∴f(x)在(-∞,0]上有極大值,即最大值為f(-1)=2a.又f(0)=0,∴G(x)的圖象如圖②所示.從圖象可以看出方程G(x)=a2若有四個(gè)解,必須<a2<2a,∴<a<2.綜上所述,滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示, 是海面上一條南北方向的海防警戒線,在 上點(diǎn) 處有一個(gè)水聲監(jiān)測(cè)點(diǎn),另兩個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn) 分別在 的正東方向 處和 處.某時(shí)刻,監(jiān)測(cè)點(diǎn) 收到發(fā)自目標(biāo) 的一個(gè)聲波, 后監(jiān)測(cè)點(diǎn) 后監(jiān)測(cè)點(diǎn) 相繼收到這一信號(hào),在當(dāng)時(shí)的氣象條件下,聲波在水中的傳播速度是 .
(1)設(shè) 到 的距離為 ,用 分別表示 到 的距離,并求 的值;
(2)求目標(biāo) 的海防警戒線 的距離(精確到 ).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)(,且)是定義域?yàn)?/span>R的奇函數(shù).
(1)求t的值;
(2)若,求使不等式對(duì)一切恒成立的實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)若函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn),是否存在正數(shù)m(),使函數(shù)在上的最大值為0,若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】山東省于2015年設(shè)立了水下考古研究中心,以此推動(dòng)全省的水下考古、水下文化遺產(chǎn)保護(hù)等工作;水下考古研究中心工作站,分別設(shè)在位于劉公島的中國(guó)甲午戰(zhàn)爭(zhēng)博物院和威海市博物館。為對(duì)劉公島周邊海域水底情況進(jìn)行詳細(xì)了解,然后再選擇合適的時(shí)機(jī)下水探摸、打撈,省水下考古中心在一次水下考古活動(dòng)中,某一潛水員需潛水米到水底進(jìn)行考古作業(yè),其用氧量包含以下三個(gè)方面:
①下潛平均速度為米/分鐘,每分鐘的用氧量為升;
②水底作業(yè)時(shí)間范圍是最少10分鐘最多20分鐘,每分鐘用氧量為0.4升;
③返回水面時(shí),平均速度為米/分鐘,每分鐘用氧量為0.32升.
潛水員在此次考古活動(dòng)中的總用氧量為升.
(Ⅰ)如果水底作業(yè)時(shí)間是分鐘,將表示為的函數(shù);
(Ⅱ)若,水底作業(yè)時(shí)間為20分鐘,求總用氧量的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,棱長(zhǎng)為1的正方體中,點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)在平面,平面,平面ABCD上的正投影都為三角形時(shí),將它們的面積分別記為,,.
(1)當(dāng)時(shí),________(用“>”或“=”或“<”填空);
(2)的最大值為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的圖像在出的切線方程;
(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(3)證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從某網(wǎng)站的程序員中隨機(jī)抽取名統(tǒng)計(jì)其年齡數(shù)據(jù)如下表:
年齡 | 23 | 26 | 27 | 30 | 32 | 34 | 38 |
人數(shù) | 1 | 3 | 3 | 5 | 4 | 3 | 1 |
(1)求這名程序員的平均年齡及年齡的眾數(shù)、中位數(shù);
(2)若這名程序員中年齡不超過(guò)歲,且學(xué)歷是研究生及其以上有人,歲以上且學(xué)歷是本科及其以下有人,完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有%的把握認(rèn)為該網(wǎng)站程序員的學(xué)歷與年齡有關(guān).
年齡≤30 | 年齡>30 | |
學(xué)歷研究生及其以上 | ||
學(xué)歷本科及其以下 |
附:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)P是拋物線C:上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作直線PH⊥x軸,點(diǎn)H為垂足.點(diǎn)M是直線PH上一點(diǎn),且在拋物線的內(nèi)部,直線l過(guò)點(diǎn)M交拋物線C于A、B兩點(diǎn),且點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn).
(1)證明:直線l平行于拋物線C在點(diǎn)P處切線;
(2)若|PM|=, 當(dāng)點(diǎn)P在拋物線C上運(yùn)動(dòng)時(shí),△PAB的面積如何變化?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,橢圓的左焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),的最大值是,的最小值是,且滿足.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為,線段的垂直平分線與軸、軸分別交于,兩點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),記的面積為,的面積為,求的取值范圍.
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