Question

16．在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是正三角形，E是AB中點，A₁E⊥平面ABC．
（I）證明：BC₁∥平面 A₁EC；
（II）若 A₁A⊥A₁B，且AB=2，求三棱錐 B₁-ACA₁的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面平行的判定定理進行證明即可．
（Ⅱ）根據(jù)三棱錐的體積公式求出相應(yīng)的底面積和高即可．

解答 解：（I）證明：設(shè)AC₁與A₁C交于F點，連接EF，
∵E，F(xiàn)分別是線段A B，AC₁的中點，
∴EF∥BC₁，又EF?平面A₁EC，BC₁?平面A₁EC
故BC₁∥平面A₁EC
（II）由已知易得BB₁∥平面ACA₁
∴點B到平面ACA₁的距離等于點B₁到平面ACA₁的距離．
則三棱錐B₁-ACA₁的體積等于三棱錐B-ACA₁的體積．
而三棱錐B-ACA₁的體積又等于三棱錐A₁-ABC的體積，
由已知易得正三角形ABC的面積為$S=\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{2^2}=\sqrt{3}$，
∵A₁E⊥平面ABC，且易得A₁E=1，
∴三棱錐A₁-A BC的體積$V=\frac{1}{3}S•{{A}_1}{E}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
故三棱錐B₁-ACA₁的體積為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題主要考查線面平行的判定以及三棱錐的體積的計算，根據(jù)相應(yīng)的判定定理以及三棱錐的體積公式是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計算能力．