Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+$\frac{8}{m}}$|+|x-2m|（m＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）求使得不等式f（1）＞10成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)：|a|+|b|≥|a-b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≤0取得等號(hào)，可得f（x）的最小值；
（2）求得f（1），討論當(dāng)1-2m＜0，當(dāng)1-2m≥0，去掉絕對(duì)值，解m的不等式，即可得到所求m的范圍．

解答 解：（1）由m＞0，有f（x）=|x+$\frac{8}{m}$|+|x-2m|≥|x+$\frac{8}{m}$-（x-2m）|=|$\frac{8}{m}$+2m|=$\frac{8}{m}$+2m，
當(dāng)且僅當(dāng)$（{x+\frac{8}{m}}）（{x-2m}）≤0$時(shí)，取等號(hào)，
所以f（x）的最小值為$\frac{8}{m}+2m$．
（2）f（1）=|1+$\frac{8}{m}$|+|1-2m|（m＞0），
當(dāng)1-2m＜0，即$m＞\frac{1}{2}$時(shí)，$f（1）=1+\frac{8}{m}-（{1-2m}）=\frac{8}{m}+2m$，
由f（1）＞10，得$\frac{8}{m}+2m＞10$，化簡得m²-5m+4＞0，解得m＜1或m＞4，
所以$\frac{1}{2}＜m＜1$或m＞4；
當(dāng)1-2m≥0，即$0＜m≤\frac{1}{2}$時(shí)，$f（1）=1+\frac{8}{m}+（{1-2m}）=2+\frac{8}{m}-2m$，
由f（1）＞10，得$2+\frac{8}{m}-2m＞10$，即（m+2）²＜8，此式在$0＜m≤\frac{1}{2}$時(shí)恒成立．
綜上，當(dāng)f（1）＞10時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，1）∪（4，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，考查分類討論的思想方法，化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．