Question

1．如圖．矩形ABCD中，4BC=3AB，E為矩形ABCD所在平面內一點，若$\overrightarrow{CE}$=λ$\overrightarrow{BD}$且$\overrightarrow{AE}$⊥$\overrightarrow{CE}$，則λ=（　�。�

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{7}{25}$
• C． $\frac{8}{25}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由條件便可分別以BC，BA為x軸，y軸，建立平面直角坐標系，并根據(jù)條件設AB=4，從而BC=3，這樣即可求出A，B，C，D四點的坐標，并設E（x，y），從而可以由$\overrightarrow{CE}=λ\overrightarrow{BD}$可得$\left\{\begin{array}{l}{x-3=3λ}\\{y=4λ}\end{array}\right.$（1），而根據(jù)$\overrightarrow{AE}⊥\overrightarrow{CE}$可得到x（x-3）+y（y-4）=0（2），這樣由（1）（2）聯(lián)立便可求出λ的值．

解答 解：根據(jù)條件，分別以BC，BA所在直線為x，y軸，建立如圖所示平面直角坐標系，設AB=4，則：

B（0，0），A（0，4），C（3，0），D（3，4）；$\overrightarrow{BD}=（3，4）$；
設E（x，y），$\overrightarrow{AE}=（x，y-4），\overrightarrow{CE}=（x-3，y）$，$\overrightarrow{BD}=（3，4）$；
∴由$\overrightarrow{CE}=λ\overrightarrow{BD}$得，（x-3，y）=λ（3，4）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-3=3λ}\\{y=4λ}\end{array}\right.$（1）；
∵$\overrightarrow{AE}⊥\overrightarrow{CE}$；
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CE}=0$；
即x（x-3）+y（y-4）=0，帶入（1）得：
（3λ+3）3λ+4λ（4λ-4）=0；
解得$λ=\frac{7}{25}$，或λ=0（舍去）．
故選：B．

點評 考查通過建立平面直角坐標系，利用坐標解決向量問題的方法，能求平面上點的坐標，根據(jù)點的坐標可求向量的坐標，向量坐標的數(shù)乘運算，以及向量垂直的充要條件，向量數(shù)量積的坐標運算．