Question

6．如圖，椎體P-ABCD中，ABCD為邊長為1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=$\sqrt{2}$，PB=2，E、F、G分別為BC、PC、AD中點(diǎn)．
（1）求證：平面PGB∥平面DEF；
（2）證明：AD⊥平面PGB；
（文）（3）求直線PC與平面PGB所成角的正弦值；
（理）（3）求二面角P-AD-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出EF∥PB，DE∥GB，由此能證明平面PGB∥平面DEF．
（2）推導(dǎo)出PG⊥AD，BG⊥AD，由此能證明AD⊥平面PGB．
（文）（3）以G為原點(diǎn)，GA為x軸，GB為y軸，GP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線PC與平面PGB所成角的正弦值．
（理）（3）分別求出平面PAD的法向量和平面ABD的法向量，利用向量法能求出二面角P-AD-B的余弦值．

解答 證明：（1）∵E、F、G分別為BC、PC、AD中點(diǎn)，ABCD為邊長為1的菱形，
∴EF∥PB，DE∥GB，
又EF∩DE=E，PB∩BG=B，EF、DE?平面DEF，PB、
BG?平面PBG，
∴平面PGB∥平面DEF．
（2）∵椎體P-ABCD中，ABCD為邊長為1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=$\sqrt{2}$，PB=2，
∴BD=BA，又G是AD的中點(diǎn)，
∴PG⊥AD，BG⊥AD，
又PG∩BG=G，∴AD⊥平面PGB．
解：（文）（3）∵PA=PD=$\sqrt{2}$，PB=2，∴PG²+BG²=PB²，∴PG⊥BG，
又PG⊥AD，BG∩AD=G，∴PG⊥平面ABCD，
以G為原點(diǎn)，GA為x軸，GB為y軸，GP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則P（0，0，$\frac{\sqrt{7}}{2}$），C（-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），G（0，0，0），B（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
$\overrightarrow{PC}$=（-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{\sqrt{7}}{2}$），
平面PGB的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
設(shè)直線PC與平面PGB所成角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PC}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PC}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{3}{4}+\frac{7}{4}}}$=$\frac{\sqrt{14}}{7}$，
∴直線PC與平面PGB所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{14}}{7}$．
（理）（3）∵平面PAD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），平面ABD的法向量$\overrightarrow{p}$=（0，0，1），
$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}$=0，
∴二面角P-AD-B的平面角為90°，
∴二面角P-AD-B的余弦值為0．

點(diǎn)評 本題考查平面和平面平行的證明，考查線面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法．