Question

15．橢圓C：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$向右平移一個單位、向上平移兩個單位可以得到橢圓C′：$\frac{{{{（{x-1}）}^2}}}{16}+\frac{{{{（{y-2}）}^2}}}{8}=1$．設直線l：（2a+1）x+（1-a）y-3=0，當實數(shù)a變化時，l被C′截得的最大弦長是8．

Answer 1

分析 直線l：（2a+1）x+（1-a）y-3=0，化為：a（2x-y）+（x+y-3）=0，利用直線系的性質(zhì)可得：直線l經(jīng)過定點M（1，2），為橢圓C′：$\frac{{{{（{x-1}）}^2}}}{16}+\frac{{{{（{y-2}）}^2}}}{8}=1$的中心．因此當實數(shù)a變化時，l被C′截得的最大弦長是2a．

解答 解：直線l：（2a+1）x+（1-a）y-3=0，化為：a（2x-y）+（x+y-3）=0，
令$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=0}\\{x+y-3=0}\end{array}\right.$，解得x=1，y=2，
因此直線l經(jīng)過定點M（1，2），為橢圓C′：$\frac{{{{（{x-1}）}^2}}}{16}+\frac{{{{（{y-2}）}^2}}}{8}=1$的中心．
因此當實數(shù)a變化時，l被C′截得的最大弦長是2a=8．
故答案為：8．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線系的應用、平移變換，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．