Question

已知點C為圓（x+1）²+y²=8的圓心，N是圓上的動點，點H在圓的半徑CN上，且有點F（1，0）和FN上的點M，滿足

MH

•

FN

=0，

FN

=2

FM

．
（Ⅰ）當(dāng)點N在圓上運動時，求點H的軌跡E方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線E與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別A，B，經(jīng)過點(0，

2

)且斜率為k的直線l與曲線E有兩個不同的交點P和Q，是否存在常數(shù)k，使得向量

OP

+

OQ

與

AB

共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,軌跡方程

專題：計算題,平面向量及應(yīng)用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由題意知MH是線段FN的垂直平分線，運用垂直平分線的性質(zhì)，可得|HC|+|HF|=|NC|=2

2

＞|CF|，再由橢圓的定義，即可得到軌跡E的方程；
（Ⅱ）由已知知直線的斜率必存在，設(shè)直線l的方程為：y=kx+

2

，聯(lián)立橢圓方程，消去y，得到x的方程，由判別式大于0，運用韋達(dá)定理，運用向量的坐標(biāo)和共線定理，即可得到斜率k，再加以檢驗即可判斷．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知MH是線段FN的垂直平分線，
于是|CN|=|HC|+|HN|=|HC|+|HF|=|NC|=2

2

＞|CF|，
所以點H的軌跡是以點C，F(xiàn)為焦點的橢圓，且a=

2

，c=1，所以b²=1，
故點的軌跡方程是：

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）由已知知直線的斜率必存在，設(shè)直線l的方程為：y=kx+

2

，
將其代入橢圓方程，整理得，（

1

2

+k²）x²+2

2

kx+1=0①
直線l與橢圓有兩個不同的交點P，Q，所以△=8k²-4（

1

2

+k²）=4k²-2＞0，
解得k＞

2

2

或k＜-

2

2

②
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

OP

+

OQ

=（x₁+x₂，y₁+y₂），由①得，x₁+x₂=-

4 2 k

1+2k2

，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2

2

，又A（

2

，0），B（0，1），

AB

=（-

2

，1），
所以

OP

+

OQ

與

AB

共線等價為

x1+x2=- 2 λ y1+y2=λ

，
即x₂+x₁=-

2

（y₁+y₂）=-

2

k（x₁+x₂）-4，
所以（1+

2

k）（x₁+x₂）=-4，
解得k=

2

2

不滿足②，
所以滿足條件的直線不存在．

點評：本題考查橢圓的定義、性質(zhì)和方程，考查定義法求軌跡方程的方法，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去未知數(shù)，運用判別式大于0，韋達(dá)定理，平面向量的坐標(biāo)運算和共線定理，考查運算能力，屬于中檔題．