Question

已知函數(shù)f（x）=x³+x 

1

3

，若不等式f（4^x-m•2^x+1）-f（4^-x-m•2^-x+1）≥0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A、m≤

  1

  2

• B、m≥

  1

  2

• C、m≤1
• D、m≥1

Answer 1

考點：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：通過求f′（x）判斷出f（x）在R上是增函數(shù)，所以由原不等式可得4^x-m•2^x+1≥4^-x-m•2^-x+1，該不等式又可變成4^x-4^-x≥m（2^x+1-2^-x+1），所以要求m的取值范圍需討論2^x+1-2^-x+1是否為0：x=0時，上面不等式成立；x≠0時，上面不等式變成m≤

2x+2-x

2

，而

2x+2-x

2

≥1，所以m≤1，這樣即求出了m的范圍．

解答： 解：f′（x）=3x2+

1

3

x-

2

3

＞0；
∴f（x）在R上是增函數(shù)；
由原不等式得f（4^x-m•2^x+1）≥f（4^-x-m•2^-x+1）；
∴4^x-m•2^x+1≥4^-x-m•2^-x+1；
∴4^x-4^-x≥m（2^x+1-2^-x+1），
①x=0時對任意m∈R上面不等式都成立；
②x≠0時上面不等式變成m≤

2x+2-x

2

；
2^x+2^-x≥2，∴

2x+2-x

2

≥1；
∴m≤1；
∴實數(shù)m的取值范圍是（-∞，1]．
故選：C．

點評：考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法，對增函數(shù)定義的運用，平方差公式以及基本不等式．