Question

19．已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，G為三角形的重心，且滿足a$\overrightarrow{GA}$+b$\overrightarrow{GB}$+c$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，則角C=（　�。�

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 120°

Answer 1

分析 可畫出圖形，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則及向量的數(shù)乘運算便可得出$\overrightarrow{GA}=-\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，$\overrightarrow{GB}=-\frac{1}{3}（-2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，$\overrightarrow{GC}=-\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}）$，這樣帶入$a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}+c\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$并進(jìn)行向量的數(shù)乘運算整理可得到$（-\frac{1}{3}a+\frac{2}{3}b-\frac{1}{3}c）\overrightarrow{AB}+（-\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}b+\frac{2}{3}c）$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$，從而便可得出$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}a+\frac{2}{3}b-\frac{1}{3}c=0}\\{-\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}b+\frac{2}{3}c=0}\end{array}\right.$，進(jìn)行整理便可得出a=b=c，從而便可得出角C的大�。�

解答 解：如圖，
根據(jù)條件，$\overrightarrow{GA}=-\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，$\overrightarrow{GB}=-\frac{1}{3}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）=-\frac{1}{3}（-2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，$\overrightarrow{GC}=-\frac{1}{3}（\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}）=-\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}）$；
又$a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}+c\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$；
∴$-\frac{1}{3}a（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）-\frac{1}{3}b（-2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$$-\frac{1}{3}c（\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}）$=$（-\frac{1}{3}a+\frac{2}{3}b-\frac{1}{3}c）\overrightarrow{AB}$$+（-\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}b+\frac{2}{3}c）\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}a+\frac{2}{3}b-\frac{1}{3}c=0}\\{-\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}b+\frac{2}{3}c=0}\end{array}\right.$；
整理得a=b=c；
∴△ABC為等邊三角形，則：C=60°．
故選C．

點評 考查三角形重心的概念及性質(zhì)，向量加法的平行四邊形法則，以及向量數(shù)乘的幾何意義及向量的數(shù)乘運算，平面向量基本定理．