Question

【題目】已知拋物線的方程為拋物線上一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn).

（I）求；

（II）設(shè)直線與拋物線有唯一公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)，試問，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(I)；(II)存在，.

【解析】

試題分析：(I)借助題設(shè)條件運(yùn)用拋物線的定義求解；(II)借助題設(shè)運(yùn)用直線與拋物線的位置關(guān)系及向量的數(shù)量積探求.

試題解析：

（I）由題可知，即，由拋物線的定義可知............4分

（II）法1：由關(guān)于軸對(duì)稱可知，若存在點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)，則點(diǎn)必在軸上，設(shè)，又設(shè)點(diǎn)，由直線與曲線有唯一公共點(diǎn)知，直線與相切由得.

，直線的方程為，

令得，點(diǎn)坐標(biāo)為，，

點(diǎn)在以為直徑的圓上，

要使方程恒成立，必須有，解得.

在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)，其坐標(biāo)為..................12分

法2：設(shè)點(diǎn)，由與曲線有唯一公共點(diǎn)知，直線與相切，

由得.直線的方程為，

令得，點(diǎn)坐標(biāo)為，

以為直徑的圓的方程為： ①

分別令和，由點(diǎn)在曲線上得，

將的值分別代入①得： ②

③

②③聯(lián)立得或.

在坐標(biāo)平面內(nèi)若存在點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)，則點(diǎn)必為或，將的坐標(biāo)代入①式得，

左邊==右邊，

將的坐標(biāo)代入①式得，左邊=不恒等于0，

在坐標(biāo)平面內(nèi)若存在點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.........12分