Question

1．邊長為2的正方形ABCD所在的平面與△CDE所在的平面交于CD，且AE⊥平面CDE，AE=1．
（Ⅰ）求證：平面ABCD⊥平面ADE；
（Ⅱ）設點F是棱BC上一點，若二面角A-DE-F的余弦值為$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，試確定點F在BC上的位置．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出AE⊥CD，AD⊥CD，得CD⊥面ADE，由此能證明平面ABCD⊥平面ADE．
（Ⅱ）以D為原點，DE為x軸，DC為y軸，過D作平面CDE的垂線為z軸，建立空間直角坐標系D-xyz，利用向量法能求出當點F滿足$\overrightarrow{CF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}$時，二面角A-DE-F的余弦值為$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．

解答 證明：（Ⅰ）∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥CD，…（2 分）
又∵AD⊥CD，AE∩AD=A，
∴CD⊥面ADE，…（4分）
又CD?面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面ADE．…（6分）
（Ⅱ）∵CD⊥DE，
∴如圖，以D為原點，DE為x軸，DC為y軸，過D作平面CDE的垂線為z軸，
建立空間直角坐標系D-xyz，
則：$D（0，\;0，\;0），\;C（0，\;2，\;0），\;E（\sqrt{3}，\;0，\;0）$，
∴$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=（0，\;2，\;0）$，∴$B（\sqrt{3}，\;2，\;1）$，…（8分）
設$\overrightarrow{CF}=λ\overrightarrow{CB}=λ（\sqrt{3}，\;0，\;1）$，λ∈[0，1]
則$F（\sqrt{3}λ，\;2，\;λ）$…（10分）
設平面FDE的法向量為$\overrightarrow n=（x，\;y，\;z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{DF}=\sqrt{3}λx+2y+λz=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{DE}=\sqrt{3}x=0\end{array}\right.$，取z=-2，得$\overrightarrow n=（0，\;λ，\;-2）$，…（12分）
又平面ADE的法向量為$\overrightarrow m=（0，\;1，\;0）$，
∴$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{λ}{{\sqrt{{λ^2}+4}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，∴$λ=\frac{2}{3}$，…（14分）
故當點F滿足$\overrightarrow{CF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}$時，二面角A-DE-F的余弦值為$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$…（15分）

點評 本題考查面面垂直的證明，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．