Question

3．已知拋物線y²=2px（p＞0），直線l：y=x-$\frac{p}{2}$與拋物線C相交于點A，B，過A，B作直線x=4的垂線，垂足分別為C，D，且C，D在直線l的右側(cè)，若梯形ABDC的面積為4$\sqrt{2}$，則p=（　　）

• A． $\frac{2}{3}$或2
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{2}$或2

Answer 1

分析 求出x₁+x₂=3p，得到|AC|+|BD|=8-3p，|AB|=4p，得到關(guān)于p的方程，解出檢驗即可．

解答 解：∵l經(jīng)過拋物線的焦點，且傾斜角是45°，
∴梯形ABCD的高是$\frac{\sqrt{2}}{2}$|AB|，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由拋物線的定義可知：
|AB|=x₁+x₂+p，又|AC|=4-x₁，|BD|=4-x₂，
∴|AC|+|BD|=8-（x₁+x₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=x-\frac{p}{2}}\end{array}\right.$，得：x²-3px+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0，
∴x₁+x₂=3p，
|AC|+|BD|=8-3p，|AB|=4p，
由4$\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$×（8-3p）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×4p，
解得：p=2或$\frac{2}{3}$，
當(dāng)p=2時，C、D在直線l的兩側(cè)，不合題意，
∴p=$\frac{2}{3}$，
故選：C．

點評 本題考查了拋物線問題，考查轉(zhuǎn)化思想以及三角形的面積，是一道中檔題．