Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左，右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P是橢圓上異于長軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若M是線段PF₁上一點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=2$\overrightarrow{PM}$，$\overrightarrow{M{F}_{2}}•\overrightarrow{OP}$=0，則橢圓離心率的取值范圍為（$\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 設(shè)P（m，n），|m|＜a，又F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示，可得M的坐標(biāo)，再由向量垂直的條件：數(shù)量積為0，由P的坐標(biāo)滿足橢圓方程，化簡整理可得m的方程，求得m，由|m|＜a，解不等式結(jié)合離心率公式即可得到范圍．

解答 解：設(shè)P（m，n），|m|＜a，
又F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=2$\overrightarrow{PM}$，可得（-c-x_M，-y_M）=2（x_M-m，y_M-n），
可得M（$\frac{2m-c}{3}$，$\frac{2n}{3}$），
可得$\overrightarrow{OP}$=（m，n），$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（c-$\frac{2m-c}{3}$，-$\frac{2n}{3}$），
由$\overrightarrow{M{F}_{2}}•\overrightarrow{OP}$=0，可得m（c-$\frac{2m-c}{3}$）-$\frac{2{n}^{2}}{3}$=0，
化為n²=m（2c-m），
由P在橢圓上，可得$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，
即有n²=b²（1-$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$），
可得m（2c-m）=b²（1-$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$），
化為$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$m²-2mc+a²-c²=0，
解得m=$\frac{{a}^{2}}{c}$-a，或m=$\frac{{a}^{2}}{c}$+a（舍去），
由$\frac{{a}^{2}}{c}$-a＜a，可得2c＞a，
即有e=$\frac{c}{a}$＞$\frac{1}{2}$，
但0＜e＜1，可得$\frac{1}{2}$＜e＜1．
故答案為：（$\frac{1}{2}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的范圍，注意運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示和向量垂直的條件：數(shù)量積為0，考查橢圓的范圍，以及化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．