Question

17．已知拋物線C：y²=4x，經(jīng)過點(diǎn)（4，0）的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，M（-4，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：k_AM+k_BM=0；
（Ⅱ）若直線l的斜率為k（k＜0），求$\frac{k}{{k}_{AM}•{k}_{BM}}$的最小值．

Answer 1

分析 （I）設(shè)直線方程為x=my+4，代入拋物線方程得出交點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，分別求出k_AM，k_BM，利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論；
（II）將k=$\frac{1}{m}$和（I）中的k_AM，k_BM代入$\frac{k}{{k}_{AM}•{k}_{BM}}$化簡(jiǎn)，利用基本不等式得出最值．

解答 證明：（Ⅰ）設(shè)l：x=my+4，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
將x=my+4代入y²=4x得y²-4my-16=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-16．
∴k_AM=$\frac{y1}{x1+4}$=$\frac{4{y}_{1}}{{{y}_{1}}^{2}+16}$=$\frac{4{y}_{1}}{{{y}_{1}}^{2}-{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{4}{y1-y2}$，
同理：k_BM=$\frac{4}{y2-y1}$，
∴k_AM+k_BM=0．
解：（Ⅱ）∵直線l的斜率為k，
∴k=$\frac{1}{m}$．
∴m＜0．
$\frac{k}{{k}_{AM}•{k}_{BM}}$=$\frac{k}{\frac{4}{{y}_{1}-{y}_{2}}•\frac{4}{{y}_{2}-{y}_{1}}}$=-$\frac{k（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}{16}$=-$\frac{k}{16}$（16m²+64）=-$\frac{16{m}^{2}+64}{16m}$=-m+$\frac{4}{-m}$≥4，
當(dāng)且僅當(dāng)m=-2時(shí)等號(hào)成立，
∴$\frac{k}{kAM•kBM}$的最小值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，直線的斜率，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．