Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，點(diǎn)（a_n，S_n）在直線y=2x-3n上．
（1）求證：數(shù)列{a_n+3}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：等比關(guān)系的確定,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意，利用前n項(xiàng)和的定義，推出a_n+1與a_n的關(guān)系，判斷{a_n+3}是否為等比數(shù)列；
（2）由（1）計(jì)算出a_n+3的通項(xiàng)公式，即可得出{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答： 解：（1）∵S_n=2a_n-3n，
∴a_n+1=S_n+1-S_n
=[2a_n+1-3（n+1）]-（2a_n-3n）
=2a_n+1-2a_n-3，
∴a_n+1=2a_n+3，
∴a_n+1+3=2（a_n+3）；
又∵a₁=S₁=2a₁-3，
∴a₁=3，
∴{a_n+3}是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）知，a_n+3=6•2^n-1，
∴a_n=6•2^n-1-3=3?2ⁿ-3；
即{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=3•2ⁿ-3．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列前n項(xiàng)和的定義以及利用定義判斷是否為等比數(shù)列的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．