Question

14．已知函數(shù)f（x）=x³+3|x-a|+2（a∈R）．
（1）當(dāng)a=0時，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a≤1時，求f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=x³+3|x|+2，討論當(dāng)x＞0時，當(dāng)x≤0時，運用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即可；
（2）對a討論，當(dāng)a≤0時，當(dāng)0＜a≤1時，去掉絕對值，運用導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)性，即可得到所求最小值．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時，f（x）=x³+3|x|+2，
當(dāng)x＞0時，f（x）=x³+3x+2，導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²+3＞0，
即f（x）在（0，+∞）遞增；
當(dāng)x≤0時，f（x）=x³-3x+2，導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²-3，
可得f（x）在（-1，0]遞減，在（-∞，-1）遞增；
（2）當(dāng)a≤0時，由x＞a，可得f（x）=x³+3x-3a+2，
f′（x）=3x²+3＞0，f（x）在[0，2]遞增，最小值f（0）=2-3a；
當(dāng)0＜a≤1時，若0＜x＜a時，f（x）=x³+3a-3x+2，
f′（x）=3x²-3，可得f（x）在（0，a）遞減，
若a＜x＜2時，f（x）=x³+3x-3a+2，
f′（x）=3x²+3＞0，f（x）在（a，2）遞增，
則最小值f（a）=2+a³．
綜上可得，當(dāng)a≤0時，f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值為2-3a；
當(dāng)0＜a≤1時，f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值為2+a³．

點評 本題考查含絕對值函數(shù)的單調(diào)性和最值求法，注意運用分類討論的思想方法，以及導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題．