Question

某中學(xué)有5名報(bào)考藝術(shù)類的考生要參加專業(yè)測(cè)試，已知每位考生專業(yè)測(cè)試合格的概率等于．
（I ）假設(shè)該中學(xué)5名考生恰有r人專業(yè)測(cè)試合格的概率等于，求r的值；
（II）假設(shè)該中學(xué)5名考生專業(yè)測(cè)試合格的人數(shù)為ξ，求ξ的期望和方差．

Answer 1

解：（I）∵每位考生專業(yè)測(cè)試合格的概率等于．
∴每位考生專業(yè)測(cè)試不合格的概率等于1-=．
∴該中學(xué)5名考生恰有r人專業(yè)測(cè)試合格的概率
=c₅^Rp^r（1-p）^5-r=?r=3，4．
（II）∵該中學(xué)5名考生專業(yè)測(cè)試合格的人數(shù)為ξ：
ξ～B（5，）
∴ξ的期望=5×
方差=5×．
分析：（Ⅰ）由每位考生專業(yè)測(cè)試合格的概率求得：每位考生專業(yè)測(cè)試不合格的概率，再結(jié)合n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率即可求得該中學(xué)5名考生恰有r人專業(yè)測(cè)試合格的概率，列出方程即可求得r值；
（Ⅱ）根據(jù)題意，易得 ξ：ξ～B（5，），根據(jù)其概率分布列，由期望的計(jì)算公式，結(jié)合分布列計(jì)算可得ξ的期望和方差．
點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)立事件、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算與由分布列求期望的方法，關(guān)鍵是明確事件之間的關(guān)系，準(zhǔn)確得出概率的類型．