Question

19．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{{2{a_n}}}{{2+{a_n}}}$（n∈N^*）．
（Ⅰ）計(jì)算a₂、a₃、a₄；
（Ⅱ）試猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，并給出證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a₁=1，a_n+1=$\frac{{2{a_n}}}{{2+{a_n}}}$，代入計(jì)算，可求a₂、a₃、a₄；
（Ⅱ）猜想{a_n}的通項(xiàng)公式；用數(shù)學(xué)歸納法證明，關(guān)鍵是假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)，命題成立，利用遞推式，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立．或證明$\{\frac{1}{a_n}\}$是以$\frac{1}{a_1}=1$為首項(xiàng)，$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列．

解答 解：（Ⅰ）依題意，${a_2}=\frac{{2{a_1}}}{{2+{a_1}}}=\frac{2}{3}$，${a_3}=\frac{{2{a_2}}}{{2+{a_2}}}=\frac{1}{2}$，${a_4}=\frac{{2{a_3}}}{{2+{a_3}}}=\frac{2}{5}$…（3分）
（Ⅱ）猜想${a_n}=\frac{2}{n+1}$…（4分）
（方法一•數(shù)學(xué)歸納法）
①當(dāng)n=n₀（n₀=1，2或3）時(shí)，由（Ⅰ）知，猜想成立…（6分）
②假設(shè)當(dāng)$n=k（k≥{n_0}，k∈{N^*}）$時(shí)，${a_k}=\frac{2}{k+1}$…（7分）
則當(dāng)n=k+1時(shí)，${a_{k+1}}=\frac{{2{a_k}}}{{2+{a_k}}}=\frac{{2•\frac{2}{k+1}}}{{2+\frac{2}{k+1}}}=\frac{{\frac{4}{k+1}}}{{\frac{2（k+1）+2}{k+1}}}=\frac{2}{k+2}=\frac{2}{（k+1）+1}$猜想也成立…（11分）
綜上所述，對(duì)于一切n∈N^*，${a_n}=\frac{2}{n+1}$…（12分）
（方法二）由${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}}}{{2+{a_n}}}$與a₁=1得，對(duì)于一切n∈N^*，a_n≠0…（4分）
兩邊取倒數(shù)得$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{{2+{a_n}}}{{2{a_n}}}=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{2}$…（6分）
故$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2}$，從而$\{\frac{1}{a_n}\}$是以$\frac{1}{a_1}=1$為首項(xiàng)，$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列…（9分）
∴$\frac{1}{a_n}=1+（n-1）•\frac{1}{2}=\frac{n+1}{2}$…（11分），
故${a_n}=\frac{2}{n+1}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查猜想、證明的推理方法，考查數(shù)學(xué)歸納法證明命題．注意證明的步驟的應(yīng)用．