Question

已知兩個(gè)定圓O₁，O₂，它們的半徑分別是1和2，且|O₁O₂|=4，動(dòng)圓M與圓O₁內(nèi)切，又與圓O₂外切，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程，并說明軌跡是何種曲線．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)兩個(gè)定圓O₁（-2，0），O₂（2，0），建立坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)圓圓心為M（x，y），半徑為R，由兩個(gè)圓相內(nèi)切和外切的條件，寫出動(dòng)圓圓心滿足的關(guān)系式，由雙曲線的定義確定其軌跡即可．

解答： 解：由兩個(gè)定圓O₁，O₂，它們的半徑分別是1和2，且|O₁O₂|=4，
設(shè)兩個(gè)定圓O₁（-2，0），O₂（2，0），建立坐標(biāo)系，
設(shè)動(dòng)圓圓心為M（x，y），半徑為R，
動(dòng)圓M與圓O₁內(nèi)切，又與圓O₂外切，滿足|MO₁|=R-1，|MO₂|=R+2
所以|MO₂|-|MO₁|=3（常數(shù)）且3＜4=|O₁O₂|
故M點(diǎn)的軌跡為以，O₁O₂為焦點(diǎn)的雙曲線的一支．
c=2，a=

3

2

，b²=

7

4

．
所求軌跡方程為：

x2

9 4

-

y2

7 4

=1，（x≤-

3

2

）
M點(diǎn)的軌跡為以，O₁O₂為焦點(diǎn)的雙曲線的左支．

點(diǎn)評(píng)：本題考查定義法求軌跡方程、兩圓相切的條件等知識(shí)，考查利用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力．