Question

13．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c和一次函數(shù)g（x）=-bx，其中a，b，c∈R且滿足a＞b＞c，f（1）=0．
（Ⅰ）證明：函數(shù)f（x）與g（x）的圖象交于不同的兩點；
（Ⅱ）若函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）在[2，3]上的最小值為9，最大值為21，試求a，b的值．

Answer 1

分析 （I）由已知中二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c和一次函數(shù)g（x）=-bx，分別求出a＞0，c＜0，易根據(jù)二次方程根的個數(shù)及△的關(guān)系，得到答案．
（II）由題意可得F（x）=ax²+2bx+c，我們可根據(jù)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求法，結(jié)合函數(shù)F（x）在[2，3]上的最小值是9，最大值為21，構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，解方程即可求出答案．

解答 證明：（Ⅰ）由已知f（1）=0，得：a+b+c=0，
而a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，
∴△=4b²-4ac＞0；
因此函數(shù)f（x）與g（x）圖象交于不同的兩點；
解：（Ⅱ）由題意知，F(xiàn)（x）=ax²+2bx+c
∴函數(shù)F（x）的圖象的對稱軸方程為x=-$\frac{a}$，又∵a+b+c=0
∴x=$\frac{a+c}{a}$=1+$\frac{c}{a}$＜1（8分）
又a＞0
∴F（x）在[2，3]單增
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=9}\\{f（3）=21}\end{array}\right.$，（10分）
即 $\left\{\begin{array}{l}{3a+3b=9}\\{8a+5b=21}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\end{array}\right.$．

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．