Question

某種波的傳播是由曲線f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0）來實現(xiàn)的，我們把函數(shù)解析式f（x）=Asin（ωx+φ）稱為“波”，把振幅都是A 的波稱為“A 類波”，把兩個解析式相加稱為波的疊加．
（1）已知“1 類波”中的兩個波f₁（x）=sin（x+φ₁）與f₂（x）=sin（x+φ₂）疊加后仍是“1類波”，求φ₂-φ₁的值；
（2）在“A 類波“中有一個是f₁（x）=Asinx，從 A類波中再找出兩個不同的波f₂（x），f₃（x），使得這三個不同的波疊加之后是平波，即疊加后f₁（x）+f₂（x）+f₃（x），并說明理由．
（3）在n（n∈N，n≥2）個“A類波”的情況下對（2）進行推廣，使得（2）是推廣后命題的一個特例．只需寫出推廣的結(jié)論，而不需證明．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),歸納推理

專題：綜合題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),推理和證明

分析：（1）根據(jù)定義可求得f₁（x）+f₂（x）=（cosφ₁+cosφ₂）sinx+（sinφ₁+sinφ₂）cosx，則振幅是

(cosφ1+cosφ2)2+(sinφ1+sinφ2)2

=

2+2cos(φ1-φ2)

，由

2+2cos(φ1-φ2)

=1，即可求得φ₁-φ₁的值．
（2）設(shè)f₂（x）=Asin（x+φ₁），f₃（x）=Asin（x+φ₂），則f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）=0恒成立，可解得cosφ₁=-

1

2

，可取φ₂=

4π

3

（或φ₂=-

2π

3

等），證明f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）=0．
（3）由題意可得f₁（x）=Asinx，f₂（x）=Asin（x+

2π

n

），f₃（x）=Asin（x+

4π

n

），…，從而可求f_n（x）=Asin（x+

2(n-1π)

n

），這n個波疊加后是平波．

解答： 解：（1）f₁（x）+f₂（x）=sin（x+φ₁）+sin（x+φ₂）
=（cosφ₁+cosφ₂）sinx+（sinφ₁+sinφ₂）cosx，
振幅是

(cosφ1+cosφ2)2+(sinφ1+sinφ2)2

=

2+2cos(φ1-φ2)

則

2+2cos(φ1-φ2)

=1，即cos（φ₁-φ₂）=-

1

2

，所以φ₁-φ₂=2kπ±

2π

3

，k∈Z．
（2）設(shè)f₂（x）=Asin（x+φ₁），f₃（x）=Asin（x+φ₂），
則f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）=Asinx+Asin（x+φ₁）+Asin（x+φ₂）
=Asinx（1+cosφ₁+cosφ₂）+Acosx（sinφ₁+sinφ₂）=0恒成立，
則1+cosφ₁+cosφ₂=0且sinφ₁+sinφ₂=0，
即有：cosφ₂=-cosφ₁-1且sinφ₂=-sinφ₁，
消去φ₂可解得cosφ₁=-

1

2

，
若取φ₁=

2π

3

，可取φ₂=

4π

3

（或φ₂=-

2π

3

等），
此時，f₂（x）=Asin（x+

2π

3

），f₃（x）=Asin（x+

4π

3

）（或f₃（x）=Asin（x-

2π

3

）等），
則：f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）=A[sinx+（-

1

2

sinx+

3

2

cosx）+（-

1

2

sinx-

3

2

cosx）]=0，
所以是平波．
（3）f₁（x）=Asinx，f₂（x）=Asin（x+

2π

n

），f₃（x）=Asin（x+

4π

n

），…，
f_n（x）=Asin（x+

2(n-1)π

n

），這n個波疊加后是平波．

點評：本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，考查了歸納推理的常用方法，綜合性較強，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．