Question

19．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+a²（ab∈R）
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處有極值10，求b的值；
（2）若對任意a∈[-4，+∞），f（x）在x∈[0，2]上單調(diào)遞增，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先對函數(shù)求導f'（x）=3x²+2ax+b，由題意可得f（1）=10，f′（1）=0，結合導數(shù)存在的條件可求；
（2）解法一：f'（x）=3x²+2ax+b≥0對任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，構造關于a的函數(shù)F（a）=2xa+3x²+b≥0對任意a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，結合函數(shù)單調(diào)性可得F（a）_min=F（-4）從而有b≥（-3x²+8x）_max，
解法二：f'（x）=3x²+2ax+b≥0對任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，即b≥-3x²-2ax對任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，即b≥（-3x²-2ax）_max．
構造函數(shù)F（x）=-3x²-2ax=-3（x+$\frac{a}{3}$）²+$\frac{{a}^{2}}{3}$，結合二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解函數(shù)F（x）的最大值即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
∵f（x）在 x=1處有極值10，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+a+b{+a}^{2}=10}\\{3+2a+b=0}\end{array}\right.$ 解得$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-11}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
當a=4，b=-11時，f′（x）=3x²+8x-11，其中△＞0，所以函數(shù)有極值點，
當a=-3，b=3時，f′（x）=3（x-1）²≥0，所以函數(shù)無極值點，
∴b的值為-11；
（2）解法一：f'（x）=3x²+2ax+b≥0對任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，
則F（a）=2xa+3x²+b≥0對任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，
∵x≥0，F(xiàn)（a）在a∈[-4，+∞）單調(diào)遞增或為常數(shù)函數(shù)，
所以得F（a）_min=F（-4）=-8x+3x²+b≥0對任意的x∈[0，2]恒成立，
即b≥（-3x²+8x）_max，又-3x²+8x=-3（x-$\frac{4}{3}$）²+$\frac{16}{3}$≤$\frac{16}{3}$，
當x=$\frac{4}{3}$時（-3x²+8x）_max=$\frac{16}{3}$，得b≥$\frac{16}{3}$；
解法二：f'（x）=3x²+2ax+b≥0對任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立
即b≥-3x²-2ax對任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，
即b≥（-3x²-2ax）_max．令F（x）=-3x²-2ax=-3（x+$\frac{a}{3}$）²+$\frac{{a}^{2}}{3}$，
①當a≥0時，F(xiàn)（x）_max=0，∴b≥0；
②當-4≤a＜0時，F(xiàn)（x）_max=$\frac{{a}^{2}}{3}$，
∴b≥$\frac{{a}^{2}}{3}$．
又∵（$\frac{{a}^{2}}{3}$）_MAX=$\frac{16}{3}$，
∴b≥$\frac{16}{3}$．

點評 本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，利用構造函數(shù)的思想把恒成立轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問題，要注意構造思想在解題中的應用．