Question

5．已知{a_n}是等差數(shù)列，其前n項和為S_n，{b_n}為公比大于零的等比數(shù)列，若b₁=a₁=1，b₂=5-a₂，b₃=S₃-a₃．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）定義E（a_n）=$\frac{{{a_1}+{a_2}+…+{a_n}}}{n}$是數(shù)列{a_n}的前n項的數(shù)學(xué)期望，若E（b_n）≥t-$\frac{1}{{E（{a_n}）}}$對任意的n∈N⁺恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡可得（4-d）²=2+d，從而解得d=2或d=7，再討論求得，從而求通項公式；
（2）由E（a_n）=$\frac{{{a_1}+{a_2}+…+{a_n}}}{n}$求得E（b_n）=$\frac{{2}^{n}-1}{n}$，E（a_n）=n，從而化恒成立問題為t≤$\frac{{2}^{n}}{n}$對任意的n∈N⁺恒成立，從而化為最值問題求解．

解答 解：（1）由題意，設(shè)a_n=1+（n-1）d，
∵b₁=a₁=1，b₂=5-a₂，b₃=S₃-a₃，
∴（5-a₂）²=1（S₃-a₃），
即（4-d）²=2+d，
解得，d=2或d=7；
若d=7，則b₂=5-a₂=-3，
故不成立；
故d=2；
故a_n=2n-1，b_n=2^n-1；
（2）∵E（a_n）=$\frac{{{a_1}+{a_2}+…+{a_n}}}{n}$，
∴E（b_n）=$\frac{1+2+4+…+{2}^{n-1}}{n}$=$\frac{{2}^{n}-1}{n}$，
E（a_n）=$\frac{1+3+5+…+2n-1}{n}$=n，
∵E（b_n）≥t-$\frac{1}{{E（{a_n}）}}$對任意的n∈N⁺恒成立，
∴t≤$\frac{{2}^{n}}{n}$對任意的n∈N⁺恒成立，
令c_n=$\frac{{2}^{n}}{n}$，則c_n+1-c_n=$\frac{（n-1）{2}^{n}}{n（n+1）}$≥0，
故（c_n）_min=c₁=2，
故t≤2．

點評 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時考查了恒成立問題與最值問題的應(yīng)用，屬于中檔題．