Question

2．已知x=1是函數(shù)f（x）=ax³-bx-lnx（a＞0，b∈R）的一個(gè)極值點(diǎn)，則lna與b-1的大小關(guān)系是（　�。�

• A． lna＞b-1
• B． lna＜b-1
• C． lna=b-1
• D． 以上都不對(duì)

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)得到b=3a-1，作差令g（a）=lna-（b-1）=lna-3a+2，（a＞0），根據(jù)函數(shù)的得到求出g（a）的最大值小于0，從而判斷出lna和b-1的大小即可．

解答 解：f′（x）=3ax²-b-$\frac{1}{x}$，
∵x=1是f（x）的極值點(diǎn)，
∴f′（1）=3a-b-1=0，
即3a-1=b，
令g（a）=lna-（b-1）=lna-3a+2，（a＞0），
則g′（a）=$\frac{1}{a}$-3=$\frac{1-3a}{a}$，
令g′（a）＞0，解得：0＜a＜$\frac{1}{3}$，
令g′（a）＜0，解得：a＞$\frac{1}{3}$，
故g（a）在（0，$\frac{1}{3}$）遞增，在（$\frac{1}{3}$，+∞）遞減，
故g（a）_max=g（$\frac{1}{3}$）=1-ln3＜0，
故lna＜b-1，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．