Question

19．已知：已知函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+2ax，
（1）若a=1，求f（x）的極值；
（2）當(dāng)0＜a＜2 時(shí)，f（x）在[1，4]上的最小值為-$\frac{16}{3}$，求f（x）在該區(qū)間上的最大值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}+2x$，求導(dǎo)后分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得f（x）的極值；
（2）當(dāng)0＜a＜2 時(shí)，f（x）在[1，4]上的最小值為f（4）=-$\frac{16}{3}$，求出a值后，可得f（x）在該區(qū)間上的最大值．

解答 （本小題滿(mǎn)分14分）
解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}+2x$，f'（x）=-x²+x+2=-（x+1）（x-2）----（2分）
列表得：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	單調(diào)減	$-\frac{7}{6}$	單調(diào)增	$\frac{10}{3}$	單調(diào)減

所以，f（x） 的極大值為$\frac{10}{3}$，f（x） 的極小值為$-\frac{7}{6}$．--------------------------（7分）
（2）令f'（x）=0，得${x_1}=\frac{{1-\sqrt{1+8a}}}{2}$，${x_2}=\frac{{1+\sqrt{1+8a}}}{2}$；
f（x） 在（-∞，x₁），（x₂，+∞） 上單調(diào)遞減，在（x₁，x₂） 上單調(diào)遞增，-------------（10分）
當(dāng)0＜a＜2 時(shí)，有x₁＜1＜x₂＜4，
所以f（x） 在[1，4]上的最大值為f（x₂），
f（4）＜f（1），
所以f（x） 在[1，4]上的最小值為$f（4）=8a-\frac{40}{3}=-\frac{16}{3}$，
解得：a=1，x₂=2．
故f（x） 在[1，4]上的最大值為$f（2）=\frac{10}{3}$．-------------------（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的函數(shù)的最值，難度中檔．