Question

如圖，F(xiàn)是中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的右焦點(diǎn)，直線l：x＝4是橢圓C的右準(zhǔn)線，F(xiàn)到直線l的距離等于3．

（1）求橢圓C的方程；

（2）點(diǎn)P是橢圓C上動(dòng)點(diǎn)，PM⊥l，垂足為M．是否存在點(diǎn)P，使得△FPM為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

 

Answer 1

（1）；（2）P(，±).

【解析】

試題分析：（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，一般利用待定系數(shù)法，利用兩個(gè)獨(dú)立條件確定a,b的值. 設(shè)橢圓C的方程為，由已知，得，∴∴b＝．所以橢圓C的方程為．（2）等腰三角形這個(gè)條件，是不確定的，首先需要確定腰. 由＝e＝，得PF＝PM．∴PF≠PM．若PF＝FM，則PF＋FM＝PM，與“三角形兩邊之和大于第三邊”矛盾，∴PF不可能與FM相等．因此只有FM＝PM，然后結(jié)合點(diǎn)在橢圓上條件進(jìn)行列方程求【解析】
設(shè)P(x，y)(x≠±2)，則M(4，y)．∴＝4－x，

∴9＋y2＝16－8x＋x2，又由，得y2＝3－x2．∴9＋3－x2＝16－8x＋x2，∴x2－8x＋4＝0．∴7x2－32x＋16＝0．∴x＝或x＝4．∵x∈(－2，2)，∴x＝．∴P(，±)．綜上，存在點(diǎn)P(，±)，使得△PFM為等腰三角形．

試題解析：【解析】
（1）設(shè)橢圓C的方程為

由已知，得，∴，∴b＝．所以橢圓C的方程為

（2）由＝e＝，得PF＝PM．∴PF≠PM．

①若PF＝FM，則PF＋FM＝PM，與“三角形兩邊之和大于第三邊”矛盾，

∴PF不可能與FM 相等．

②若FM＝PM，設(shè)P(x，y)(x≠±2)，則M(4，y)．∴＝4－x，

∴9＋y2＝16－8x＋x2，又由，得y2＝3－x2．∴9＋3－x2＝16－8x＋x2，

∴x2－8x＋4＝0．∴7x2－32x＋16＝0．∴x＝或x＝4．∵x∈(－2，2)，∴x＝．

∴P(，±)．綜上，存在點(diǎn)P(，±)，使得△PFM為等腰三角形．

考點(diǎn)：橢圓方程，橢圓第二定義