Question

【題目】定義域?yàn)閧x|x≠0}的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：f（xy）=f（x）f（y），f（x）＞0且在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，若m滿(mǎn)足f（log3m）+f（ ）≤2f（1），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A.[ ，1）∪（1，3]
B.[0， ）∪（1，3]
C.（0， ]
D.[1，3]

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵f（xy）=f（x）f（y），f（x）＞0則令x=y=1可得f（1）=f2（1），即有f（1）=1．
令x=y=﹣1，則f（1）=f2（﹣1）=1，則f（﹣1）=1．
令y=﹣1，則f（﹣x）=f（x）f（﹣1）=f（x），即有f（x）為偶函數(shù)．
由f（log3m）+f（ ）≤2f（1），可得 f（log3m）+f（﹣log3m）≤2f（1），
即2f（log3m）≤2f（1），即 f（|log3m|）≤f（1），
由于f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，則|log3m|≤1，且log3m≠0，
解得 ≤m＜1或1＜m≤3．
故選：A．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫(xiě)成其并集．