Question

10．在區(qū)間（0，2）內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)a，b，則使方程x²+（a²-2）x+b²=0的兩個(gè)根分別作為橢圓與雙曲線的離心率的概率為（　�。�

• A． $\frac{1}{8}$
• B． $\frac{π}{8}$
• C． $\frac{π}{16}$
• D． $\frac{1}{16}$

Answer 1

分析 依題意，要使方程兩根分別作為橢圓，雙曲線的離心率，則有0＜x₁＜1＜x₂，令f（x）=x²+（a²-2）x+b²，則f（0）＞0，f（1）＜0，由此能求出使方程x²+（a²-2）x+b²=0的兩個(gè)根分別作為橢圓與雙曲線的離心率的概率．

解答 解：依題意，要使方程兩根分別作為橢圓，雙曲線的離心率，
則有0＜x₁＜1＜x₂，
令f（x）=x²+（a²-2）x+b²，
∴f（0）=b²＞0，f（1）=1+（a²-2）×1+b²＜0，
∴b＞0，a²+b²＜1，
∴使方程x²+（a²-2）x+b²=0的兩個(gè)根分別作為橢圓與雙曲線的離心率的概率：
p=$\frac{\frac{π}{4}}{4}$=$\frac{π}{16}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意條件概率的合理運(yùn)用．