Question

3．一個(gè)透明的球形裝飾品內(nèi)放置了兩個(gè)公共底面的圓錐如圖，且這兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在這個(gè)球面上，如圖，已知圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的$\frac{3}{16}$，則較大圓錐與較小圓錐的體積之比為3：1．

Answer 1

分析 設(shè)球的半徑為R，圓錐底面半徑為r，求出球的面積，然后求出圓錐的底面積，求出圓錐的底面半徑，運(yùn)用球的截面性質(zhì)，可得球心到截面的距離，進(jìn)而得到圓錐的高，求出體積較小者的高與體積較大者的高的比值，即可得到所求體積之比．

解答 解：不妨設(shè)則球的表面積為4πR²，
由圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的$\frac{3}{16}$，
可得圓錐的底面積為$\frac{3π{R}^{2}}{4}$，
則圓錐的底面半徑為r=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，
由幾何體的特征知球心到圓錐底面的距離，
球的半徑以及圓錐底面的半徑三者可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形，
由此可以求得球心到圓錐底面的距離是$\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{{R}^{2}-\frac{3{R}^{2}}{4}}$=$\frac{1}{2}$R，
則圓錐體積較小者的高為：R-$\frac{1}{2}$R=$\frac{1}{2}$R；
可得圓錐體積較大者的高為：R+$\frac{1}{2}$R=$\frac{3}{2}$R．
又由這兩個(gè)圓錐的底面相同，
則較大圓錐與較小圓錐的體積之比等于它們高之比，即3：1．
故答案為：3：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的表面積和圓錐的體積公式的運(yùn)用，其中熟練掌握球的表面積公式和體積之比為高之比，是解答的關(guān)鍵．