Question

19．在△ABC中，a≠b，c=$\sqrt{3}$，cos²A-cos²B=$\sqrt{3}$sinAcosA-$\sqrt{3}$sinBcosB，則∠C=（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{5}$
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 利用二倍角公式降冪，再由兩角差的正弦化簡得到sin（2A-$\frac{π}{6}$）=sin（2B$-\frac{π}{6}$）．由a≠b，得2A-$\frac{π}{6}$≠2B$-\frac{π}{6}$，則由2A-$\frac{π}{6}$+2B$-\frac{π}{6}$=π，從而求得∠C．

解答 解：由cos²A-cos²B=$\sqrt{3}$sinAcosA-$\sqrt{3}$sinBcosB，
得$\frac{1+cos2A}{2}-\frac{1+cos2B}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}sin2A-\frac{\sqrt{3}}{2}sin2B$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2B-\frac{1}{2}cos2B=\frac{\sqrt{3}}{2}sin2A-\frac{1}{2}cos2A$，
即sin（2A-$\frac{π}{6}$）=sin（2B$-\frac{π}{6}$）．
∵a≠b，
∴2A-$\frac{π}{6}$≠2B$-\frac{π}{6}$，
則2A-$\frac{π}{6}$+2B$-\frac{π}{6}$=π，
即A+B=$\frac{2π}{3}$．
∴C=$\frac{π}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查二倍角的正弦和余弦，考查了兩角差的正弦，是基礎題．