Question

2．在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ=$\frac{1}{1-cosθ}$（其中θ≠2kπ，ρ＞0），A，B是曲線C上的兩個動點(diǎn)，且OA⊥OB．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）求$\frac{1}{{|{OA}|}}+\frac{1}{{|{OB}|}}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）代入x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，由兩邊平方化簡即可得到所求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)A（ρ₁，θ），討論①A在y軸上，即A（ρ₁，$\frac{π}{2}$），則B（ρ₂，π），②A不在y軸上，且B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$），③A不在y軸上，且B（ρ₂，θ-$\frac{π}{2}$），代入極坐標(biāo)方程，結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和差正弦公式和主函數(shù)的值域，即可得到所求最大值．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ=$\frac{1}{1-cosθ}$，即為ρ=1+ρcosθ，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，可得$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=1+x，
化簡可得y²=1+2x；
（2）設(shè)A（ρ₁，θ），
①A在y軸上，即A（ρ₁，$\frac{π}{2}$），則B（ρ₂，π），
則$\frac{1}{{|{OA}|}}+\frac{1}{{|{OB}|}}$=1-cos$\frac{π}{2}$+1-cosπ=1+2=3；
②A不在y軸上，且B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$），則$\frac{1}{{|{OA}|}}+\frac{1}{{|{OB}|}}$=1-cosθ+1-cos（θ+$\frac{π}{2}$）
=2+sinθ-cosθ=2+$\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$）≤2+$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)θ=$\frac{3π}{4}$+2kπ，k∈Z時取得等號；
③A不在y軸上，且B（ρ₂，θ-$\frac{π}{2}$），則$\frac{1}{{|{OA}|}}+\frac{1}{{|{OB}|}}$=1-cosθ+1-cos（θ-$\frac{π}{2}$）
=2-sinθ+cosθ=2-$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）≤2+$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)θ=-$\frac{3π}{4}$+2kπ，k∈Z時取得等號．
綜上可得，$\frac{1}{{|{OA}|}}+\frac{1}{{|{OB}|}}$的最大值為2+$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，考查極坐標(biāo)方程的運(yùn)用：求最值，同時考查三角函數(shù)的恒等變換和正弦函數(shù)的值域的運(yùn)用，屬于中檔題．