Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=ln x-cx（c∈R）
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（2）若f（x）≤x²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，對(duì)c討論，即可得出函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（2）若f（x）≤x²恒成立，$c≥\frac{lnx}{x}-x$，?x∈（0，+∞），構(gòu)造函數(shù)，求最大值，即可求c的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=ln x-cx，
∴x∈（0，+∞），f′（x）=$\frac{1-cx}{x}$．
c≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
c＞0時(shí)f（x）在$（0\;，\;\frac{1}{c}）$單調(diào)遞增，$（\frac{1}{c}\;，\;+∞）$單調(diào)遞減   …6
（2）ln^x-cx≤x²，?x∈（0，+∞）
∴$c≥\frac{lnx}{x}-x$，?x∈（0，+∞）
令$F（x）=\frac{{{{ln}^x}}}{x}-x$，$F'（x）=\frac{{1-{{ln}^x}}}{{x{\;}^2}}-1=\frac{{1-{{ln}^x}-{x^2}}}{x^2}$，
F'（1）=0，?x∈（0，1），F(xiàn)'（x）＞0；
x∈（1，+∞），F(xiàn)'（x）＜0，
∴F（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在 （1，+∞）單調(diào)遞減，
∴F_max=F（1）=-1，
∴c≥-1，
即c的取值范圍為[-1，+∞）．…12

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問(wèn)題，正確分離參數(shù)求最大值是關(guān)鍵．