Question

14．已知函數(shù)φ（x）=$\frac{a}{x+1}$，a＞0
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）=lnx+φ（x），在（1，2）上只有一個極值點，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若g（x）=|lnx|+φ（x），且對任意x₁，x₂∈（0，2]，且x₁≠x₂，都有$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜-1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，得到f′（1）f′（2）＜0，解出即可；
（Ⅱ）設(shè)h（x）=g（x）+x，依題意得出h（x）在（0，2]上是減函數(shù)．下面對x分類討論：①當1≤x≤2時，②當0＜x＜1時，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性從及最值，即可求得求a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=lnx+φ（x）=lnx+$\frac{a}{x+1}$，（x＞0，a＞0），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{（x+1）}^{2}}$，
當f′（1）f′（2）＜0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上只有一個極值點，
即為（1-$\frac{1}{4}$a）（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{9}$a）＜0，
解得：4＜a＜$\frac{9}{2}$；
（Ⅱ）∵$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜-1，
∴有$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$+1＜0，
∴$\frac{g{（x}_{2}）{+x}_{2}-[g{（x}_{1}）{+x}_{1}]}{{x}_{2}{-x}_{1}}$＜0，
設(shè)h（x）=g（x）+x，依題意，h（x）在（0，2]上是減函數(shù)．
當1≤x≤2時，h（x）=lnx+$\frac{a}{x+1}$+x，h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{（x+1）}^{2}}$+1，
令h′（x）≤0，得：a≥$\frac{{（x+1）}^{2}}{x}$+（x+1）2=x2+3x+$\frac{1}{x}$+3對x∈[1，2]恒成立，
設(shè)m（x）=x2+3x+$\frac{1}{x}$+3，則m′（x）=2x+3-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∵1≤x≤2，∴m′（x）=2x+3-$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
∴m（x）在[1，2]上遞增，則當x=2時，m（x）有最大值為$\frac{27}{2}$，
∴a≥$\frac{27}{2}$；
當0＜x＜1時，h（x）=-lnx+$\frac{a}{x+1}$+x，h′（x）=-$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{（x+1）}^{2}}$+1，
令h′（x）≤0，得：a≥-$\frac{{（x+1）}^{2}}{x}$+（x+1）2=x2+x-$\frac{1}{x}$-1，
設(shè)t（x）=x2+x-$\frac{1}{x}$-1，則t′（x）=2x+1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
∴t（x）在（0，1）上是增函數(shù)，
∴t（x）＜t（1）=0，
∴a≥0．

點評 本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導數(shù)的幾何意義、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．