Question

9．已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足2S_n=（a_n+2）b_n，其中S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（1）若數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為$\frac{2}{3}$，公比為-$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=n，a₂=3，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）由等比數(shù)列可得a_n=$\frac{2}{3}$•（-$\frac{1}{3}$）^n-1，S_n=$\frac{\frac{2}{3}（1-（-\frac{1}{3}）^{n}）}{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}$（1-（-$\frac{1}{3}$）ⁿ），從而化簡(jiǎn)解得b_n=$\frac{1}{2}$；
（2）易知2S_n=（a_n+2）n，從而可得a₁=2，a₂=3，當(dāng)n≥3時(shí)，由2S_n=（a_n+2）n，2S_n-1=（a_n-1+2）（n-1）作差化簡(jiǎn)可得$\frac{{a}_{n}}{n-1}$-$\frac{{a}_{n-1}}{n-2}$+$\frac{2}{（n-1）（n-2）}$=0，從而利用裂項(xiàng)求和法求解．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為$\frac{2}{3}$，公比為-$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，
∴a_n=$\frac{2}{3}$•（-$\frac{1}{3}$）^n-1，S_n=$\frac{\frac{2}{3}（1-（-\frac{1}{3}）^{n}）}{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}$（1-（-$\frac{1}{3}$）ⁿ），
∴2•$\frac{1}{2}$（1-（-$\frac{1}{3}$）ⁿ）=（$\frac{2}{3}$•（-$\frac{1}{3}$）^n-1+2）b_n，
∴（1-（-$\frac{1}{3}$）ⁿ）=2（（1-（-$\frac{1}{3}$）ⁿ））b_n，
∴b_n=$\frac{1}{2}$；
（2）∵b_n=n，
∴2S_n=（a_n+2）n，
①當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=a₁+2，
故a₁=2；
②當(dāng)n=2時(shí)，a₂=3，
③當(dāng)n≥3時(shí)，
2S_n=（a_n+2）n，
2S_n-1=（a_n-1+2）（n-1），
故2a_n=（a_n+2）n-（a_n-1+2）（n-1），
故（n-2）a_n-（n-1）a_n-1+2=0，
故$\frac{{a}_{n}}{n-1}$-$\frac{{a}_{n-1}}{n-2}$+$\frac{2}{（n-1）（n-2）}$=0，
故$\frac{{a}_{n}}{n-1}$-$\frac{{a}_{n-1}}{n-2}$=2（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n-2}$），
故$\frac{{a}_{3}}{2}$-$\frac{{a}_{2}}{1}$=2（$\frac{1}{2}$-1），
$\frac{{a}_{4}}{3}$-$\frac{{a}_{3}}{2}$=2（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2}$），
…
$\frac{{a}_{n}}{n-1}$-$\frac{{a}_{n-1}}{n-2}$=2（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n-2}$），
故$\frac{{a}_{n}}{n-1}$-$\frac{{a}_{2}}{1}$=2（$\frac{1}{n-1}$-1），
故$\frac{{a}_{n}}{n-1}$=2（$\frac{1}{n-1}$-1）+3=$\frac{n+1}{n-1}$，
故a_n=n+1，
a₁=2，a₂=3也滿足a_n=n+1，
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了學(xué)生的化簡(jiǎn)運(yùn)算的能力及裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用．